导数、微分、不定积分（凑微分、变量置换法、...

这些基本概念你可以百度一下找到详细的解释，在此仅对凑微分进行解释
凑微分例释
∫(2x+1)²dx
=1/2∫ (2x+1)² d(2x+1) --- 因为d(2x+1)=2dx,所以前面要有个1/2,来和这里出现的2相消
=1/2∫ udu ---这里的u=2x+1
∫ lnx/x dx
=∫ lnx d(lnx) ---因为d(lnx)=1/x dx
=∫ udu ---这里的u=lnx
导数是微分之比，又叫微分比；积分是微分的逆运算。
积分的变量假如一眼看出来的用直接积分，假如积分元和式子中的不完全一样的用变量置换法，以上方法都不奏效，那只有凑微分了。
建议你参考一下高等数学解题方法指导方面的书籍，相信你所提出的所有问题即迎刃而解了。

膟次方,y的x次方的导数可以用对数求导法求,或者看作复合函数.
x^y＋y^x＝3
e^(ylnx)＋e^(xlny)＝3
e^(ylnx)×[y'lnx＋y/x]＋e^(xlny)×[lny＋xy'/y]＝0
x^y×[y'lnx＋y/x]＋y^x×[lny＋xy'/y]＝0
代入x＝1,y＝2,得y'＝-2-2ln2
所以,切线方程是y－2＝－（2 2ln2）(x－1),即y＝－(2 2ln2)x－2ln2＋4