已知函数f(x)＝log3x2+ax+bx2+cx+1，是否存在实数a、b、c，使f（x）同时满足下列三个条件：（1）定义域为R的奇函数；（2）在[1，+∞）上是增函数；（3）最大值是1．若存在，求出a、b、c；若不存在，说明理由．
问题描述：
已知函数f(x)＝log3
，是否存在实数a、b、c，使f（x）同时满足下列三个条件：
x2+ax+b
x2+cx+1
（1）定义域为R的奇函数；
（2）在[1，+∞）上是增函数；
（3）最大值是1．若存在，求出a、b、c；若不存在，说明理由．
答
由f（x）是R上的奇函数，可得f（0）=0，log3b=0，∴b=1．又∵f（-x）=-f（x），即log3x2−ax+1x2−cx+1＝−log3x2+ax+1x2+cx+1，∴x2+1−axx2+1−cx＝x2+1+cxx2+1+ax⇔(x2+1)2−a2x2＝(x2+1)2−c2x2．∴a2=c2⇒a=c或...
答案解析：由f（x）是R上的奇函数，可得f（0）=0，log3b=0，可得b的值．再利用f（-x）=-f（x），a=-c． 这时f(x)＝log3
在[1，+∞）上是增函数，且最大值是1．转化为u(x)＝
x2−cx+1
x2+cx+1
在[1，+∞）上是增函数，且最大值是3．利用导数研究其单调性即可．
x2−cx+1
x2+cx+1
考试点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题考查了对数函数类型的函数奇偶性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于难题．