一个自然数在四进制表示当中的各位数字之和是5,在五进制表示当中的各位数字之和是4,那么这个自然数除以3的余数是______,满足要求的最小自然数是(十进制表示)______.

问题描述:

一个自然数在四进制表示当中的各位数字之和是5,在五进制表示当中的各位数字之和是4,那么这个自然数除以3的余数是______,满足要求的最小自然数是(十进制表示)______.

各位数字之和是4的五进制的数,与四进制、十进制的转化如下表 五进制数 十进制数 四进制数 四进制数字和 4 4 10 1 13 8 20 2 22 12 30 3 31 16 100 1 40 20 110 2 103 ...
答案解析:我们先从小到大写出各位数字之和是4的五进制的数,将它们化成十进制的形式,再进一步转化为四进制的形式,找到最先出现的数字之和为5的数即可得到最小的自然数,再根据3的倍数的特征求余数即可解答.
考试点:其它进制问题.
知识点:本题主要考查了特殊进位制之间的相互转化,对小学生来讲比较困难,解题关键是找出符合条件的最小数值.
理论验证如下:
对任意某进制数,其各位数字和能被(N-1)整除,则该数能被N-1整除.亦即该数的十进制值能被N-1整除;
在10进制中,各位数字和能被9整除,则此数必能被9整除;
在5进制中,各位数字和能被4整除,则此数必能被4整除;
在4进制中,各位数字和能被3整除,则此数必能被3整除;
证法参考10进制中被9整除的情况;
对任意某N进制数,其各位数字和被(N-1)除余K,则该数被(N-1)除余K;
结合以上两点,则
由在5进制表示当中的各位数字之和是4=5-1,推得该数被4整除;
由在4进制表示当中的各位数字之和是5=(4-1)+2,推得该数被3除余2;
被4整除、被3除余2的最小正整数时8,则有此性质的自然数=12T+8【T属于自然数】;
因(12T+8 )÷4=3T+2,也就是说除去四进制数个位上的0(必然的),
只需求某 3T+2 在四进制中各数字之和=5;
显然有T=4时,3T+2=14=4进制[32]符合且最小;
此时12T+8=12×4+8=56.