答
(1)设长方形零件PQMN的边PN=a,PQ=x,则AE=80-x.
∵PN∥BC,
∴△APN∽△ABC.
∴=.
因此,=.(1分)
解得a=120-x.(2分)
所以长方形PQMN的面积S=xa=x(120-x)=-x2+120x.(3分)
当x=-=40时,a=60.(4分)
S最大值=40×60=2400(mm2).
所以这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.(5分)
(2)∵S△ABC-2S最大值=×120×80-2×2400=0,
∴从理论上说,恰能拼成一个与长方形PQMN大小一样的长方形.
拼法:作△ABC的中位线PN,分别过P,N作BC的
垂线,垂足分别为Q,M,过A作BC的平行线,交QP,MN的延长线于G,H,易知△PBQ≌△PAG,△NMC≌△NHA,
所以将△PBQ,△NMC剪下拼接到△PAG,△NHA的位置,
即得四边形PNHG,此四边形即为长方形零件PQMN面积最大时大小一样的长方形.
(注:拼法描述正确得(2分),画图正确得(1分).)
答案解析:(1)设长方形零件PQMN的边PN=a,PQ=x,则AE=80-x,利用△APN∽△ABC得相似比,用相似比可得出用含x的式子表示a,故S=x•a,从而得出二次函数解析式,根据解析式及自变量取值范围求S的最大值;
(2)S的最大值是2400mm2,而△ABC的面积是4800mm2,故剩下部分面积是2400mm2,而此时PQ=AD=40,故P,Q分别为AB,AC的中点,易证△PBQ≌△PAG,△NMC≌△NHA,可达到拼接的目的.
考试点:二次函数综合题.
知识点:本题用二次函数的方法解决面积问题,是函数性质的实际运用,需要从计算矩形面积着手,求矩形的长、宽,同时考查了拼接问题,需要从图形的特殊性着手.