AB是圆O的直径,且AB=10,若弦MN的两端在圆周上滑动AB是圆O的直径,且AB=10,若弦MN长为8,MN的两端在圆周上滑动,始终与AB相交,计点A,B到MN距离为h1,h2,求/h1-h2/(/ /表示绝对值）

设圆的方程x^2+y^2=25
M(x1,y1),N(x2,y2)
AB为y轴A(0.5)B(0,-5)
/h1-h2/
k=(y2-y1)/(x2-x1)
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=64(1)
x1^2+y1^2=25(2)
x2^2+y2^2=25(3)
(1)+(2)dai(3):50-2x1x2-2y1y2=64,2x1x2+2y1y2=-14
(3)-(2):(x2-x1)(x2+x1)+(y2-y1)(y2+y1)=0
设MNzhongdian((x1+x2)/2,y1+y2/2)=(x0,y0)
(y1+y2)/(x1+x2)=-1/k=y0/x0
y0=-x0/k(4)
(x1+x2)^2+(y1+y2)^2=50-14=36
4x0^2+4y0^2=36
x0^2+y0^2=9(5)
(4)dai(5)
k^2y0^2+y0^2=9
y0^2=9/(1+k^2),x0^2=9k^2/(1+k^2)
MN:y+x0/k=k(x-x0)
kx-y-kx0-x0/k=0
h1=(5+kx0+x0/k)/(1+k^2)^1/2
h2=(5-kx0-x0/k)/(1+k^2)^1/2
h1-h2=2x0(k+1/k)/(1+k^2)^1/2=2x0/k*(1+k^2)^1/2
(h1-h2)^2=4x0^2/k^2*(1+k^2)=4*9=36
/h1-h2/=6

首先给出一种特殊情况,当MN,AB相互垂直时,设它们交于P点,则AP为A到MN的距离,BP为B到MN的距离,显然MP=NP=4,故OP=3,PB=2,所以|h1-h2|=(3+5)-2=6
另一种特殊情况,MN中的一个点与A或B重合,不妨设N与B重合,则因为AB 为直径,所以AM为A到MN的距离,AM=sqrt（10×10-8×8）=6,B到MN的距离为0,所以答案为6
对一般情况,设AB交MN于P,过圆心O作MN的垂线交于C,过B作垂线交于E,过A作垂线交于D,设AP=x,则OP=5-x,OB=10-x,易知OC=3,有三角形APD与OPC相似,AP/OP=AD/OC,所以AD=3x/（5-x）,由三角形POC与PBE相似,OC/BE=OP/BP,所以BE=3×（10-x）/（5-x）,所以BE-AD=【3（10-x）-3x】/(5-x)=6