在三角形ABC中,求证内接园半径r/外接圆半径R=4sinA/2sinB/2sinC/2
问题描述：
在三角形ABC中,求证内接园半径r/外接圆半径R=4sinA/2sinB/2sinC/2
答
证明：设I为三角形ABC内接圆圆心
那么 AI是三角形内角A的角平分线,所以AI=R/sin(A/2)．
又 BC=Rcotan(B/2)+Rcotan(C/2)
根据正弦定理：BC/sinA=2r
BC=2rsinA,
即：
2rsinA=R[cotan(B/2)+cotan(C/2)]
2rsinA=R[sin[(B+C)/2]]/[sin(B/2)sin(C/2)]
又 sinA=2sin(A/2)cos(A/2)
从而 4rsin(A/2)cos(A/2)=R[sin(90-A/2)]/[sin(B/2)sin(C/2)]
4rsin(A/2)=R/[sin(B/2)sin(C/2)]
∴ R=4r*sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)