已知椭圆E:(x2/a2)+(y2/3)=1(a>根号3)的离心率e=1/2.直线x=t(t>0)与曲线E交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C.(1)求椭圆E的方程!（2）若圆C与y轴相交不同的两点A.B.求三角形ABC的面积最大值!

1、e=c/a=1/2,c^2=a^2-b^2,b^2=3,a>3^(1/2)
a=2
椭圆E的方程x^2/4+y^2/3=1
2、由题意得M(t,R) N（t,-R),R为圆C半径，则
圆C的方程 (x-t)^2+y^2=R^2
把M点带入椭圆E得
t^2/4+R^2/3=1
即R^2=3*(1-1/4*t^2)
圆C的方程 (x-t)^2+y^2=3*(1-1/4*t^2)
圆C与y轴相交不同的两点A.B,设A(0.y)则
t^2+y^2=3*(1-1/4*t^2)
y^2=3-7/4*t^2
S=1/2*2y*t
=y*t=1/2*[(12-7t^2)^(1/2)]*t
=1/(2*7^(1/2))* [(12-7t^2)^(1/2)]* 7^(1/2)t
=3/(7^(1/2))
等号成立时 12-7t^2=7t^2
即t=(6/7)^(1/2)

已知椭圆E:(x2/a2)+(y2/3)=1(a>根号3)的离心率e=1/2.直线x=t(t>0)与曲线E交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C.(1)求椭圆E的方程!（2）若圆C与y轴相交不同的两点A.B.求三角形ABC的面积最大值!
(1)解析：∵椭圆E:(x2/a2)+(y2/3)=1(a>根号3)的离心率e=1/2
e=c/a=1/2==>a=2c==>a^2=4(a^2-b^2)==>a^2=4
∴椭圆E:x2/4+y2/3=1
(2)解析：∵直线x=t(t>0)与曲线E交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C.
∴C(t,0),M,N关于X轴上下对称
∴圆C半径r=√[3(1-t^2/4)]
∴圆C方程为(x-t)^2+y^2=3(1-t^2/4)
∵圆C与y轴相交不同的两点A,B
∴A,B关于X轴上下对称
A,B的Y坐标：(0-t)^2+y^2=3(1-t^2/4)==>y=√[3(1-t^2/4)-t^2]
∴S(⊿ABC)=t√[3(1-t^2/4)-t^2]=t/2√(12-7t^2)
设f(x)=x/2√(12-7x^2)
令f’(x)=1/2√(12-7x^2)+x/2*1/√(12-7x^2)(-14x)=(12-21x^2)/[2√(12-7x^2)]=0
X=2√7/7
∴S(max)=√77/7