把∠A=60°,边长为8的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角,则AC与BD的距离为( )A. 6B. 23C. 43D. 26
问题描述:
把∠A=60°,边长为8的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角,则AC与BD的距离为( )
A. 6
B. 2
3
C. 4
3
D. 2
6
答
由题设∠A=60°,边长为8的菱形ABCD,则∠D=120°,由余弦定理得AC2=64+64-2×8×8cos120°=3×64,故有AC=83令E、F分别是中点,则折后两条对角线之间的距离为EF的长由题设条件及图形可证得在△AEC中,∠AEC=60°,A...
答案解析:折后两条对角线之间的距离的范围可以根据二面角θ的范围求得,故先找出二面角的平面角,取AC的中点E,连接BE、DE,则∠BED=θ,且BE=ED,所以EF⊥BD,再取BD的中点F,由AF=CF可得:EF⊥AC,则折后两条对角线之间的距离为EF的长,所以当θ=120°时,EF取最小值;当θ=60°时,EF取最大值.
考试点:与二面角有关的立体几何综合题.
知识点:本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识,解题的关键是做出二面角的平面角来,本题考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.