怎样证明根号二是无理数?
问题描述：
怎样证明根号二是无理数?
答
假设√2是有理数
设√2=p/q,p>q>0，且p,q互为质因数
有：2=p^2/q^2
p^2=2×q^2
于是p是偶数
设p=2r，
得(2r)^2=2×q^2=4r^2
得2×r^2=q^2
故q也是偶数
这与p，q互为质因数矛盾
因此√2是无理数
答
证明:假设√2是有理数,√2=m/n.(m,n为互质的自然数)
则:(√2)²=(m/n)²,2n²=m².
2n²为偶数,则m必为偶数,设m=2p(p为自然数)
则2n²=4p²,n²=2p²,同理可知n必为偶数.
这与假设m,n互质矛盾,所以√2为无理数.
答
假设根号2为有理数,
根号2=P/q
2= p2/q2
因为2q2必偶数
所以 p必偶数,设p=2m
则 p2=4m2=2q2,q2=2m2
所以,p必为4的倍数,q必为2的倍数!
与假设相矛盾
所以,假设错误,根号2为无理数