如图,A、P、B、C是⊙O上的四点,∠APC=∠CPB=60°,求证:PA+PB=PC

问题描述:

如图,A、P、B、C是⊙O上的四点,∠APC=∠CPB=60°,求证:PA+PB=PC

证明:在PC上取点D,使AP=PD
∵∠APC、∠ABC所对应圆弧都为劣弧AC,∠APC=60
∴∠ABC=∠APC=60
∵∠CAB、∠CPB所对应圆弧都为劣弧BC,∠CPB=60
∴∠CAB=∠CPB=60
∴等边△ABC
∴AB=AC
∵AP=PD
∴等边△PAD
∴AD=AP,∠PAD=60
∵∠PAB=∠PAD-∠BAD=60-∠BAD,∠DAC=∠CAB-∠BAD=60-∠BAD
∴∠PAB=∠DAC
∴△PAB≌△DAC (SAS)
∴CD=BP
∵PD+CD=PC
∴AP+BP=PC