已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）与双曲线 C2：x2-y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则椭圆C1的离心率为 （ ） A.e2=10
问题描述：
已知椭圆C1：
+x2 a2
＝1（a＞b＞0）与双曲线 C2：x2-y2 b2
＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则椭圆C1的离心率为 （ ）y2 4
A. e2=
10 11
B. e2=
1 2
C. e2=
9 10
D. e2=
8 9
答
由题意，C2的焦点为（±
，0），一条渐近线方程为y=2x，
5
根据对称性可知以C1的长轴为直径的圆交y=2x于A、B两点，满足AB为圆的直径且AB=2a
∵椭圆C1与双曲线C2有公共的焦点，
∴C1的半焦距c=
，可得a2-b2=5，…①
5
设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为A（m，2m），
代入C1的方程，解得m2=
，…②
a2b2
b2+4a2
由对称性可得直线y=2x被C1截得的弦长AB=2
m，
5
结合题意得2
m=
5
，可得m=2a 3
，…③a 3
5
由②③联解，得a2=11b2…④
再联解①④，可得a2=5.5，b2=0.5，得c2=a2-b2=5．
∴椭圆C1的离心率e满足e2=(
)2=c a
=c2 a2
．10 11
故选：A