选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,O为极点,已知圆C的圆心为(2,π3),半径r=1,P在圆C上运动.(I)求圆C的极坐标方程;(II)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位,且以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴)中,若Q为线段OP的中点,求点Q轨迹的直角坐标方程.

问题描述:

选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,O为极点,已知圆C的圆心为(2,

π
3
),半径r=1,P在圆C上运动.
(I)求圆C的极坐标方程;
(II)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位,且以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴)中,若Q为线段OP的中点,求点Q轨迹的直角坐标方程.

(Ⅰ)设圆上任一点坐标为(ρ,θ),由余弦定理得12=ρ2+22−2•2ρcos(θ−π3)所以圆C的极坐标方程为ρ2−4ρcos(θ−π3)+3=0…(5分)(Ⅱ)圆C的极坐标方程为ρ2−4ρcos(θ−π3)+3=0可化成直角坐标方程...
答案解析:(Ⅰ)先设圆上任一点坐标为(ρ,θ),由余弦定理得出关于ρ,θ的关系式,即为所求圆的极坐标方程;
(Ⅱ)设Q(x,y)则P(2x,2y),根据P在圆上,即可Q的直角坐标方程.
考试点:圆锥曲线的轨迹问题;简单曲线的极坐标方程.
知识点:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化,以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距离等基本方法,属于基础题.