已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率e=2分之根号2右准线x=2,过F1的直线l与该椭圆交与M,N,且向量F2M+向量F2N的模=2*根号26/3求直线方程.第一问是求椭圆的标准方程
问题描述：
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率e=2分之根号2右准线x=2,过F1的直线l与该椭圆交与M,N,且向量F2M+向量F2N的模=2*根号26/3求直线方程.第一问是求椭圆的标准方程
答
1
离心率e=c/a=√2/2
右准线x=a²/c=2
∴c=1,a=√2,b²=a²-c²=1
∴椭圆的标准方程为
x²/2+y²=1
2
F1(-1,0),F2(1,0)
l的斜率存在,(不存在时,F2M+F2N=-4)
设 l:y=k(x+1)代入x²/2+y²=1
x²+2k²(x+1)²-2=0
即(2k²+1)x²+4k²x+2k²-2=0
设M(x1,y1),N(x2,y2)
则x1+x2=-4k²/(2k²+1),
x1x2=(2k²-2)/(2k²+1)
∴F2M=(x1-1,y1),F2N=(x2-1,y2)
∴F2M+F2N=(x1+x2-2,y1+y2)
∵|向量F2M+向量F2N|=2*√26/3
∴(x1+x2-2)²+(y1+y2)²=4*26/9
[-4k²/(2k²+1)-2]²+k²(x1+x2+2)²=4*26/9
[(8k²+2)/(2k²+1)]²+k²[2/(2k²+1)]²=4*26/9
(4k²+1)²+k²=26/9*(2k²+1)²
144k⁴+81k²+9=104k⁴+104k²+26
4ok⁴-23k²-17=0
k²=1或k²=-17/40（舍去）
∴k=±1
∴l:y=±(x+1)