limx趋于0 ((1+x)^(1/x)-e)/x 求该式的极限
问题描述：
limx趋于0 ((1+x)^(1/x)-e)/x 求该式的极限
答
由泰勒展式知 ln[ (1+x)^(1/x) ]=ln(1+x)/x~(x-x^2/2)/x=1-x/2~1+ln(1-x/2)=ln[e(1-x/2)] (x->0)
∴ (1+x)^(1/x)~e(1-x/2), ∴((1+x)^(1/x)-e)/x~[ e(1-x/2)-e ]/x=-e/2 ∴ lim((1+x)^(1/x)-e)/x=-e/2.
答
原式 = lim (e^(ln(1+x)/x) -e)/x=lim e(e^(ln(1+x)/x - 1) -1 ) /x =lim e(ln(1+x)/x -1)/x =e lim (ln(1+x)-x)/x²=e lim (1/(1+x)-1) / 2x =e lim -x/(2x(1+x))=-e/2