用导数求函数最值做一个容积为300m∧3的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位造价为周围单位造价的两倍.问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低?
问题描述：
用导数求函数最值
做一个容积为300m∧3的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位造价为周围单位造价的两倍.问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低?
答
设长：a，宽：b，高：c，
则abc=300
池底的单位造价为2m，则周围的单位造价为m
总造价P=ab·2m+2(bc+ac)m
=2m(ab+bc+ac)
≥2m·3 ³√(ab·bc·ac)
=60m ³√90
当且仅当a=b=c=³√300时，取等号。
当蓄水池的长宽高都相等，且为³√300m时，总造价最低
答
设底部半径为r,高为h,周围单位造价为m
则总造价为f=m*2πrh+2m*πr^2=2mπ(r^2+rh)
又πr^2h=300,所以h=300/(πr^2)
f=2mπ[r^2+300/(πr)]=2mπr^2+600m/r=f(r)
此函数有极值,则f'(r)=4mπr-600m/r^2=0
则4mπr=600m/r^2,r^3=150/π,
则r=(150/π)^(1/3),h=300/(πr^2)=300/[π(150/π)^(2/3)]=2(150/π)^(1/3)=2r