设x1=10,xn+1=6+xn(n=1,2,…),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.
问题描述:
设x1=10,xn+1=
(n=1,2,…),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.
6+xn
答
(1)先用数学归纳法证明数列{xn}是单调递减的
∵x1=10,x2=
=4
6+x1
∴x2>x1
假设xk-1>xk,(k≥2且k为整数),则
xk=
=>
6+xk−1
=xk+1
6+xk
∴对一切正整数n,都有xn>xn+1
∴数列{xn}是单调递减的数列
(2)证明数列{xn}是有界的
∵xn≤x1=10,n为正整数
且由xn+1=
知,xn>0,
6+xn
∴0<xn≤10,n为正整数
即数列{xn}是有界的
∴数列{xn}极限存在
假设
xn=alim n→∞
则根据xn+1=
,得
6+xn
a=
6+a
∴解得:a=3(舍去a=-2)
∴
xn=3lim n→∞
答案解析:证明数列的极限存在,常用的两个定理:夹逼定理和单调有界定理,根据已知条件,应该用单调有界定理会更简单点.求极限,依据数列的递推公式即可
考试点:函数极限存在性的判别和证明综合;收敛数列的存在的判别和证明.
知识点:当数列是以递推公式给出时,一般用数学归纳法证明其单调性会简单些,有界性就可以由其单调性以及递推关系求出.