设x1=10，xn+1＝6+xn（n=1，2，…），试证数列{xn}极限存在，并求此极限．
问题描述：
设x1=10，xn+1＝
（n=1，2，…），试证数列{xn}极限存在，并求此极限．
6+xn
答
（1）先用数学归纳法证明数列{xn}是单调递减的
∵x1＝10，x2＝
＝4
6+x1
∴x2＞x1
假设xk-1＞xk，（k≥2且k为整数），则
xk＝
＝＞
6+xk−1
＝xk+1
6+xk
∴对一切正整数n，都有xn＞xn+1
∴数列{xn}是单调递减的数列
（2）证明数列{xn}是有界的
∵xn≤x1=10，n为正整数
且由xn+1＝
知，xn＞0，
6+xn
∴0＜xn≤10，n为正整数
即数列{xn}是有界的
∴数列{xn}极限存在
假设
xn＝alim n→∞
则根据xn+1＝
，得
6+xn
a＝
6+a
∴解得：a=3（舍去a=-2）
∴
xn＝3lim n→∞