已知抛物线y=ax²+bx+c经过O（0,0）,M（-5,0）,N（-4,-2）.（1）求抛物线的关系式,并写出抛物线的顶点坐标（这个我会 可以不回答）（2）若将抛物线向右平移n个单位（0＜n＜5）,平移时抛物线与x轴交于A、C两点,A点在C点的左边,抛物线于y轴交于D点.当n为何值时,△ACD是直角三角形?（3）若将最初的抛物线向上平移n个单位（n＞0）,平移时抛物线与x轴交于A、C两点,A点在C点的左边,当n为何值时,在抛物线上存在点P,使△PAC是等腰直角三角形,并求出点P的坐标.

(1)
经过O, A(4, 0), 可表达为y = ax(x - 4)
经过B(3, √3): -3a = √3
a = -√3/3, b = 4√3/3
抛物线的函数解析式: y = -√3/3(x² - 4x)
(2)
t秒时: P(t, 0)
(i) Q在AB上
AB的解析式: (y - 0)/(√3 - 0) = (x - 4)/(3 - 4), y = -√3(x - 4)
AB = √[(3 - 4)² + (√3 - 0)²] = 2
0 设Q(q, -√3(q - 4)), 显然0 AQ² = OP² = t² = (q - 4)² + [-√3(q - 4) - 0]² = 4(q - 4)²
q = 4 - t/2 (舍去q = 4 + t/2)
Q(4 - t/2, √3t/2)
S = (1/2)PA*Q的纵坐标 = (1/2)(4 - t)*√3t/2 = √3(4 - t)t/4
(ii)Q在BC上
2 QB = t - AB = t - 2, Q的横坐标 = B的横坐标 - QB = 3 - (t - 2) = 5 - t
Q(5 - t, √3)
S = (1/2)PA*Q的纵坐标 = (1/2)(4 - t)√3 = √3(4 - t)/2

（1）y=ax²+bx+c 带入O（0,0）,M（-5,0）,N（-4,-2）
得 a=-1/2,b=-5/2,c=0
(2)首先y右平移n,得到新的方程为y1=a1x²+b1x+c1;
y1 = a(x-n)²+b(x-n)+c = ax²+an²-2anx+bx-bn+c = ax²+(b-2an)x+an²-bn+c
a1 = a
b1 = b-2an
c1 = an²-bn+c
由目前b1,c1,n三个未知数2个方程得在找一个方程就能求解.b1,c1,n的值
由(2)给出的条件得
向量AD点乘向量DC = 0
A,D,C点坐标用a1,b1,c1表示,A,C的横坐标是方程y=0的根,纵坐标为0,D点(0,c1)
能求出一个等式
a1*c1 =-1,c1= -1/a
联立上面的方程可得 an²-bn+c+1/a = 0 那a,b,c带入得 n = 4 或 1
（3）首先y上平移n,得到新的方程为y2=a2x²+b2x+c2;
y2 = y-n = ax²+bx+c-n
a= a2
b= b2
c2= c-n
P(xp,yp),A(xa,0),C(xc,0)
由（3）给出的条件为|AP| = |AC|,向量AP点乘向量PC = 0
(xp-xa)²+yp²=(xp-xc)²+yp² 1式
(xp-xa)(xp-xc)+yp²=0 2式
由1式得|xp-xa| = |xp-xc| => xp-xa =正负(xp-xc)
求得 xp = -b/2a 或者 xa = xc(舍去此时X轴只有一个交点)
yp = axp²+bxp+c-n = 25/8-n
带入2式得得n的一元2次方程组 解之得答案