∫x根号（2x-x^2）dx

推荐的答案对吗。第二部

？？

再好好算算吧，

∫ x√(2x - x²) dx
= ∫x√[- (x² - 2x + 1) + 1] dx
= ∫x√[1 - (x - 1)²] dx
令x - 1 = sinθ，dx = cosθ dθ

= ∫(1 + sinθ)|cosθ| * cosθ dθ
= ∫(1 + sinθ)cos²θ dθ
= ∫cos²θ dθ + ∫(- π/2，π/2) sinθcos²θ dθ
= 2∫(1 + cos2θ)/2 dθ + ∫cos²θ d(- cosθ)

这道题用三角变换来做：

如图,sint = x^2/2x = x/2,x = 2sint,dx = 2cost dt;

∫x√（2x - x^2）dx = ∫x * 2xcost * 2cost dt

                               = ∫4(sint)^2*2cost * 2cost dt

                               = ∫4(sin2t) ^2dt

                               = ∫(1 - cos4t)/2 d4t

                               = 2t - sin(4t)/2 + C

                               = 2t - 2sintcost[1 - 2(sint)^2] + C

                               = 2arcsin(x/2) - √（2x - x^2)/2 * (1 - x^2/2) + C

希望我的答案对你有所帮助~

∫x根号（2x-x^2）dx=∫x根号(-1+2x-x^2+1)dx=∫x根号(1-(x-1)^2dx
令t=x-1 得
=∫（t+1)根号(1-t^2)dt 然后用分部积分即可