已知函数f(x)=x2+2x−4,(x>0),g(x)和f(x)的图象关于原点对称.(I)求函数g(x)的解析式;(II)试判断g(x)在(-1,0)上的单调性,并给予证明;(III)将函数g(x)的图象向右平移a(a>0)个单位,再向下平移b(b>0)个单位,若对于任意的a,平移后gf(x)和f(x)的图象最多只有一个交点,求b的最小值.

问题描述:

已知函数f(x)=x2+

2
x
−4,(x>0),g(x)和f(x)的图象关于原点对称.
(I)求函数g(x)的解析式;
(II)试判断g(x)在(-1,0)上的单调性,并给予证明;
(III)将函数g(x)的图象向右平移a(a>0)个单位,再向下平移b(b>0)个单位,若对于任意的a,平移后gf(x)和f(x)的图象最多只有一个交点,求b的最小值.

(I)由g(x)和f(x)的图象关于原点对称,
得到g(x)=-f(-x)=-(x2

2
x
−4)=-x2+
2
x
+4,(x<0);(2分)
(II)g(x)在(-1,0)上单调递减.
证明:任意取x1,x2∈(-1,0)且x1<x2
2
x1x2
>2,x1+x2>-2,
∵g(x1)-g(x2)=(x2-x1)(x1+x2+
2
x1x2
)>0,
所以g(x)在(-1,0)上递减;(6分)
(III)同理可知g(x)在(-∞,-1)上递增,且g(x)和f(x)关于原点对称.
故要使得平移后2个函数的图象最多只有一个交点,
则只需要将g(x)向下平移2个单位,
因此b的最小值为2.(10分)
答案解析:(I)因为g(x)和f(x)的图象关于原点对称,所以g(x)=-f(-x),把f(x)的解析式代入即可确定出g(x)的解析式;
(II)g(x)在(-1,0)上单调递减,理由如下:在(-1,0)任取两个值x1和x2,且x1小于x2,然后判断g(x1)与g(x2)的差为正数,即可得到g(x)在(-1,0)上单调递减;
(III)由第二问得到g(x)在(-1,0)上单调递减,且g(x)与f(x)关于原点对称,要使得平移后2个函数的图象最多只有一个交点,只需将g(x)图象向下平移两个单位,因此得到b的最小值为2.
考试点:函数解析式的求解及常用方法;函数的图象与图象变化;利用导数研究函数的单调性.
知识点:此题考查了函数解析式得求解及常用的方法,函数单调性的证明,以及函数的图象与图象的变化.函数的单调性就是随着x的变大,y在变大就是增函数,y变小就是减函数,具有这样的性质就说函数具有单调性,其证明方法为:在定义域内任取两个自变量的值,并设出大小关系,代入函数解析式分别表示出相应的函数值,利用作差的方法判断其函数值的大小,即可得到函数的单调性.