正三棱柱ABC―A1B1C1的棱长都为2.E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1D与平面GEF所成角的正弦值为?
问题描述：
正三棱柱ABC―A1B1C1的棱长都为2.E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1D与平面GEF所成角的正弦值为?
答
如图,取AC中点G,连接FG,EG,
则FG∥C1C,FG=C1C;EG∥BC,EG=1/2BC,
故∠EFG即为EF与C1C所成的角(或补角),
在Rt△EFG中
cos∠EFG=FG/FE=2/根号5=2倍根号5/5.如图，取AB的中点E，建立如图所示空间直角坐标系E-xyz.
则E(0,0,0)，F(-1,0,1)，B1(1,0,2)，A1(-1,0,2)，C1(0，，2)，G（-1/2.根号3/2,2
设平面GEF的一个法向量为n=(x，y，z)，由得
令x=1，则n=(1，-根号3，1)，设B1F与平面GEF所成角为θ，则
sin θ=3/5