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设f(x)＝ex1+ax2，其中a为正实数． （1）当a＝4/3时，求f（x）的极值点； （2）若f（x）为[1/2， 3/2]上的单调函数，求a的取值范围．

分类: 作业答案 • 2022-02-09 18:42:55
问题描述：

设f(x)＝

ex
1+ax2
，其中a为正实数．
（1）当a＝
4
3
时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）为[
1
2
， 
3
2
]上的单调函数，求a的取值范围．

答

∵f′(x)＝

(ax2−2ax+1)ex
(1+ax2)2
，
（1）当a＝
4
3
时，若f'（x）=0，
则4x2−8x+3＝0⇒x1＝
1
2
， x2＝
3
2
，
x (−∞，
1
2
)
1
2
 (
1
2
， 
3
2
)
3
2
 (
3
2
， +∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴x1＝
1
2
是极大值点，x2＝
3
2
是极小值点；　　　　
（2）记g（x）=ax2-2ax+1，则g（x）=a（x-1）2+（1-a），
∵f（x）为[
1
2
， 
3
2
]上的单调函数，
则f'（x）在[
1
2
， 
3
2
]上不变号，
∵
ex
(1+ax2)2
＞0，
∴g（x）≥0或g（x）≤0对x∈[
1
2
， 
3
2
]恒成立，
由g（1）≥0或g(
1
2
)≤0⇒0＜a≤1或a≥
4
3
，
∴a的取值范围是0＜a≤1或a≥
4
3
．

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