如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,P是反比例函数y=6x(x>0)图象上的任意一点,以P为圆心,PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B.(1)判断P是否在线段AB上,并说明理由;(2)求△AOB的面积;(3)Q是反比例函数y=6x(x>0)图象上异于点P的另一点,请以Q为圆心,QO半径画圆与x、y轴分别交于点M、N,连接AN、MB.求证:AN∥MB.

问题描述:

如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,P是反比例函数y=

6
x
(x>0)图象上的任意一点,以P为圆心,PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B.
(1)判断P是否在线段AB上,并说明理由;
(2)求△AOB的面积;
(3)Q是反比例函数y=
6
x
(x>0)图象上异于点P的另一点,请以Q为圆心,QO半径画圆与x、y轴分别交于点M、N,连接AN、MB.求证:AN∥MB.

(1)点P在线段AB上,理由如下:∵点O在⊙P上,且∠AOB=90°∴AB是⊙P的直径∴点P在线段AB上.(2)过点P作PP1⊥x轴,PP2⊥y轴,由题意可知PP1、PP2,是△AOB的中位线,故S△AOB=12OA×OB=12×2PP1×2PP2∵P是反比例...
答案解析:(1)点P在线段AB上,由O在⊙P上,且∠AOB=90°得到AB是⊙P的直径,由此即可证明点P在线段AB上;
(2)如图,过点P作PP1⊥x轴,PP2⊥y轴,由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线,故S△AOB=

1
2
OA×OB=
1
2
×2PP1×PP2
而P是反比例函数y=
6
x
(x>0)图象上的任意一点,由此即可求出PP1×PP2=6,代入前面的等式即可求出S△AOB
(3)如图,连接MN,根据(1)(2)则得到MN过点Q,且S△MON=S△AOB=12,然后利用三角形的面积公式得到OA•OB=OM•ON,然后证明△AON∽△MOB,最后利用相似三角形的性质即可解决问题.
考试点:相似三角形的判定与性质;反比例函数图象上点的坐标特征;三角形中位线定理;圆周角定理.
知识点:此题分别考查了反比例函数图象上点的坐标特点、相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理及圆周角定理,综合性比较强,要求学生熟练掌握这些基础知识才能很好解决这类综合性的问题.