f(x)是[a,b]上的连续函数,g(x)是[a,b]上的可积函数
问题描述：
f(x)是[a,b]上的连续函数,g(x)是[a,b]上的可积函数
(1)证明:如果g(x)>=0或g(x)(2)举例说明当g(x)在区间[a,b]上改变符号时结论未必成立
答
f(x)是[a,b]上的连续函数,所以可以设m不妨设g(x)恒>=0,反之用-g(x)取代.
所以mg(x)m∫g(x)dx=∫mg(x)dx=所以设∫f(x)g(x)dx=T∫g(x)dx
因为f(x)连续,所以对于任何一个T满足m所以证毕.
反例
区间[a,b]=[0,2pi]
g(x)=sin(x)
f(x)=sin(x)
∫f(x)g(x)dx=(1/2)∫(1-cos2x)dx=pi
f(ξ)∫g(x)dx=0