四边形ABCD,角ABC=角BCD,连结AC、BD交于O,AO=DO,如何证明三角形ABC全等于三角形BCD?
问题描述：
四边形ABCD,角ABC=角BCD,连结AC、BD交于O,AO=DO,如何证明三角形ABC全等于三角形BCD?
答
用反证法
若BC不平行于AD ∵AO=DO ∴BO≠CO
不妨设OC＞OB 在OC上截取一点C' 使得 OB=OC'
则容易知道BC'//AD 且∠C'BA=∠BC'D （因为此时梯形ABC'D中的对角线相互平分,所以这个梯形为等腰梯形）
又∵∠ABC=∠ABC'+∠CBC' ∠BCD=∠BCA+∠DCA=∠BC'A-∠CBC'+∠AC'D-∠CDC'
=∠BC'D-∠CDC'-∠CBC' 且∠ABC=∠BCD
所以 ∠BC'D-∠CDC'-∠CBC'=∠ABC'+∠CBC'
所以∠BC'D=∠ABC'+∠CBC'+∠CDC'+∠CBC'>∠ABC' 矛盾.
所以 BC//AD 自然 △ABC≡△BCD