如图,⊙O是△ABC的外接圆,FH是⊙O的切线,切点为F,FH∥BC,连接AF交BC于E,∠ABC的平分线BD交AF于D,连接BF. (1)证明:AF平分∠BAC; (2)证明:BF=FD; (3)若EF=4,DE=3,求AD的长.
问题描述:
如图,⊙O是△ABC的外接圆,FH是⊙O的切线,切点为F,FH∥BC,连接AF交BC于E,∠ABC的平分线BD交AF于D,连接BF.
(1)证明:AF平分∠BAC;
(2)证明:BF=FD;
(3)若EF=4,DE=3,求AD的长.
答
(1)证明:连接OF
∵FH是⊙O的切线
∴OF⊥FH(1分)
∵FH∥BC,
∴OF垂直平分BC(2分)
∴
=BF
,FC
∴∠1=∠2,
∴AF平分∠BAC(3分)
(2)证明:由(1)及题设条件可知
∠1=∠2,∠4=∠3,∠5=∠2(4分)
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠1+∠4=∠5+∠3(5分)
∵∠1+∠4=∠BDF,∠5+∠3=∠FBD,
∴∠BDF=∠FBD,
∴BF=FD(6分)
(3)在△BFE和△AFB中
∵∠5=∠2=∠1,∠AFB=∠AFB,
∴△BFE∽△AFB(7分)
∴
═BF AF
,(8分)FE FB
∴BF2=FE•FA
∴FA=
(9分),EF=4,BF=FD=EF+DE=4+3=7,BF2
FE
∴FA=
=72 4
49 4
∴AD=AF-DF=AF-(DE+EF)=
−7=49 4
(10分)21 4