已知数列{an}的通项公式为an=pn2+qn． （1）当p，q满足什么条件时，数列{an}是等差数列； （2）求证：对任意实数p、q，数列{an+1-an}是等差数列．
问题描述：
已知数列{an}的通项公式为an=pn2+qn．
（1）当p，q满足什么条件时，数列{an}是等差数列；
（2）求证：对任意实数p、q，数列{an+1-an}是等差数列．
答
（1）∵an=pn2+qn．
∴若数列{an}是等差数列；
则当n＞1时，an-an-1=pn2+qn-[p（n-1）2+q（n-1）]=2pn+q-p为常数，
∴必有p=0，
即当p=0，数列{an}是等差数列；
（2）∵an=pn2+qn．
∴当n＞1时，an-an-1=pn2+qn-[p（n-1）2+q（n-1）]=2pn+q-p，
即an+1-an=2p（n+1）+q-p，
∴（an+1-an）-（an-an-1）=2p为常数，
即对任意实数p、q，数列{an+1-an}是等差数列．