如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE． （1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由； （2）若AD=4、AB=6，求直角边BC的长．
问题描述：
如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD=4、AB=6，求直角边BC的长．
答
（1）连OD，OE，如图，
∵E是BC边上的中点，AB是半圆O的直径，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠A，而OD=OA，∠A=∠3，
∴∠1=∠2，
又∵OD=OB，OE为公共边，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE与半圆O相切．
（2）∵AB为直径
∴∠ADB=∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠CAB，
∴△ABC∽△ADB．
∴
=AB AC
，AD AB
∵AD=4、AB=6，
∴AC=9，
∴在Rt△ABC中：BC=
=
AC2-AB2
=3
81-36
．
5