设n阶方阵A满足A平方=En,|A+En|不等于0,证明:A=En.

问题描述:

设n阶方阵A满足A平方=En,|A+En|不等于0,证明:A=En.

带来

记I=En,I=A*A, (I+A)(I-A)=0。因为A+I行列式非0,所以A+I可逆。所以I-A=0,I=A

证明:由A^2=En得0=A^2-En=A^2-En^2=(A+En)(A-En)因为|A+En|≠0,故A+En必有逆矩阵(A+En)^(-1),上式两边左乘(A+En)^(-1),便得(A+En)^(-1)*0=0=(A+En)^(-1)*(A+En)(A-En)=En*(A-En)=A-En即A-En=0,则A=En....