宇航员驾驶一飞船在靠近某行星表面附近的圆形轨道上运行,已知飞船运行的周期为T,行星的平均密度为ρ.试证明ρT2=k(万有引力恒量G为已知,k是恒量).

问题描述:

宇航员驾驶一飞船在靠近某行星表面附近的圆形轨道上运行,已知飞船运行的周期为T,行星的平均密度为ρ.试证明ρT2=k(万有引力恒量G为已知,k是恒量).

证明:设行星半径为R、质量为M,飞船在靠近行星表面附近的轨道上运行时,有

GMm
R2
=m
2
T2
R

即M=
2R3
GT2
  ①
又行星密度ρ=
M
V
=
M
4
3
πR3

将①代入②得 ρT2=
G
=k证毕