如图,在RT三角形ABC中,角C=90度,D是AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DE垂直于DF在RT三角形ABC中,角C=90度 D是AB的中点,E,F分别在AC,和BC上,且DE垂直DF：求证EF的平方=AE的平方加BF的平方图不难画,酷毙了

如图，过点D分别作AC，BC的垂线，垂足分别为G，H。
因为D为AB的中点，△ABC为直角三角形
所以AG=CG，BH=CH，且DG⊥DH
又因为DE⊥DF
所以∠GDE=∠HDF
又有∠EGD=∠FHD=90度
所以△EGD∽△FHD
所以DG/DH=GE/FH=（CG-CE）/(BH-BF)=（GE+CG-CE）/(FH+BH-BF)=（GE+AG-CE）/(FH+CH-BF)=（AE-CE）/（CF-BF）
（注：GE/FH=（CG-CE）/(BH-BF)=（GE+CG-CE）/(FH+BH-BF)=（这一步用到了分数的合比性质，即如果a/c=b/d那么有a/c=b/d=(a+c)/(b+d)）
又因为DG/DH＝DG/AG=BC/AC
所以BC/AC=（AE-CE）/（CF-BF）
所以BC*（CF-BF）=AC*（AE-CE）又有BC=CF+BF，AC＝AE+CE
所以(CF+BF）*（CF-BF）=(AE+CE）*（AE-CE）
CF^2-BF^2＝AE^2-CE^2
CF^2+CE^2＝AE^2+BF^2
根据勾股定理有：CF^2+CE^2＝EF^2
所以AE^2+BF^2＝EF^2，命题得证

证明：
过点D分别作AC，BC的垂线，垂足分别为G，H。
因为D为AB的中点，△ABC为直角三角形
所以AG=CG，BH=CH，且DG⊥DH
又因为DE⊥DF
所以∠GDE=∠HDF
又有∠EGD=∠FHD=90度
所以△EGD∽△FHD
所以DG/DH=GE/FH=（CG-CE）/(BH-BF)=（GE+CG-CE）/(FH+BH-BF)=（GE+AG-CE）/(FH+CH-BF)=（AE-CE）/（CF-BF）
又因为DG/DH＝DG/AG=BC/AC
所以BC/AC=（AE-CE）/（CF-BF）
所以BC*（CF-BF）=AC*（AE-CE）又有BC=CF+BF，AC＝AE+CE
所以(CF+BF）*（CF-BF）=(AE+CE）*（AE-CE）
CF^2-BF^2＝AE^2-CE^2
CF^2+CE^2＝AE^2+BF^2
因为CF^2+CE^2＝EF^2
所以AE^2+BF^2＝EF^2

重来!
证明：延长FD到点G,使GD=DF
连接EG
则EG=DF
易证△ADG≌△BDF
∴AG=BF
可得AG‖BC（利用全等后的内错角）
∴∠GAE=90°
∴AE²+AG²=EG²
∴AE²+BF²=EF²
刚才理解错了,不好意思!

证明：延长FD到点G，使GD=DF

连接EG

则EG=DF

易证△ADG≌△BDF

∴AG=BF

可得AG‖BC（利用全等后的内错角）

∴∠GAE=90°

∴AE²+AG²=EG² 

∴AE²+BF²=EF²

有图片更好理解