在Rt三角形ABC中,角ACB平分线交对边于点E,交斜边上的高AD于G,过G作FG平行于CB交AB于F.求证：AE=BF

f

作EM垂直于CB,交CB与M点,连接MG
因为,角平分线CE,所以角EAD=角EMD,所以,角GMC=角GAC
又因为角GAC=角ABC,所以角GMD=角AND
因为EM垂直CB,AD垂直CB,所以ADB相似于GDM,所以GM//AB,又因为AD//EM,所以有平行四边形GMAE,所以AE=GM
又因为平行四边形GMBF,所以GM=FB
所以,AE=FB.

因为FG‖CB所以AG⊥FG且∠GFA=∠B
又∠GFA=∠CAB=直角
所以△AGF∽△CAB
所以CB/AF=AC/AG
又因为CE是∠ACB的平分线
所以CB/BE=AC/AE
在RT△CAE中,∠CEA=90°-∠ACE
在RT△CDG中,∠CGD=90°-∠GCD
因为CE是∠ACB的平分线所以∠ACE=∠GCD
所以∠CEA=∠CGD
因为∠CGD和∠AGE是对顶角,所以相等
所以∠CEA=∠AGE
所以△AGE是等腰三角形,所以AG=AE
因为CB/AF=AC/AG（由上面相似三角形得到的等式）
所以CB/AF=AC/AE
又因为CB/BE=AC/AE（由上面角平分线定理得到的等式）
所以AF=BE
所以AF-EF=BE-EF
所以AE=BF