求“龟兔赛跑”悖论正解!

说的是芝诺悖论吧……
阿基里斯是希腊神话中善跑的英雄.但阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟,因为当他要到达乌龟出发的那一点,乌龟又向前爬动了.阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小,但永远追不上乌龟.
极限思想的解释：
原文中的分析是：设开始时阿基里斯在A点,乌龟在B点,AB间相距一段距离.出发后,当阿基里斯到达B点时,乌龟已经向前移动了一段距离到达了C,BC间也相距一定距离；然后阿基里斯继续由B向C运动,到达C点时,乌龟又已经前进了一段距离到达了D,这样下去,阿基里斯将不停地一段一段距离地追赶而乌龟却能永远保持在他前面一小段距离.
极限思想认为上面分析中的“乌龟却能永远保持在他前面”说法有错误,虽然阿基里斯将无限次的向乌龟所在位置逼近,但并不是永远追不上,因为这无限次的运动只需要有限的时间就可以完成.
假设阿基里斯速度为V1,乌龟速度为V2,开始时阿基里斯在A0点,乌龟在A1点,A0与A1距离为L1；
第一次,阿基里斯由A0运动到A1需要时间T1=L1/V1,这时乌龟运动到了A2点,则A2距A1的距离为L2=V2*T1=V2/V1*L1；
第二次,阿基里斯由A1运动到A2需要时间T2=L2/V1=V2/V1^2*L1,这时乌龟运动到了A3点,则A3距A2的距离为L3=V2*T2=V2^2/V1^2*L1；
第三次,阿基里斯由A2运动到A3需要时间T3=L3/V1=V2^2/V1^3*L1,这时乌龟运动到了A4点,则A4距A3的距离为L4=V2*T3=V2^3/V1^3*L1；
……
第n次,阿基里斯由A(n-1)运动到An需要时间Tn=V2^(n-1)/V1^n*L1,这时乌龟运动到了A(n+1)点,则A(n+1)距An的距离为L(n+1)=V2*Tn=V2^n/V1^n*L1；
……
将这无限次运动的时间全加起来：
T=T1+T2+T3+…+Tn+…=L1/V1*[1+V2/V1+(V2/V1)^2+(V2/V1)^3+…+(V2/V1)^(n-1)+…]
中括号里的式子是一个等比数列,求和取极限可得T=L1/V1*lim{[1-(V2/V1)^n]/(1-V2/V1)}；
解得T=L1/(V1-V2)
可以看到,T是一个有限值,也就是说阿基里斯完成这无数次运动而追上乌龟只需要有限的时间T就够了,而我们也能看出这个T正好与按普通物理方法求出的结果一致.
悖论揭示的物理本质：
时间和空间是不可无限分割的.
在阿基里斯逼近乌龟的某一位置时,他距乌龟的距离已经短到了极限,没有比这个长度更短的长度了.
光速通过这个长度所需的时间也是最短的时间,也没有比这个更短的时间间隔.
于是,在这种物理本质的制约下,当阿基里斯在几个最短的时间间隔中移动到乌龟所在的位置时,乌龟无法再前进一个更小的距离了；再过了几个最短时间间隔,这时乌龟才能向前移动一个最短距离.此时,阿基里斯已经超过乌龟了.
这就是阿基里斯追上乌龟的细节过程.