已知:如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是△ABC内的一点,且AD=AC,若∠DAC=30°,试探究BD与CD的数量关系并加以证明.

问题描述:

已知:如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是△ABC内的一点,且AD=AC,若∠DAC=30°,试探究BD与CD的数量关系并加以证明.

BD=CD.
证明:作BE⊥BC,AE⊥AC,两线相交于点E,
∵△ABC是等腰直角三角形,即AC=BC,
∴四边形AEBC是正方形,
∵∠DAC=30°,
∴∠DAE=60°,
∵AD=AC,
∴AD=AE,
∴△AED是等边三角形,
∴∠AED=60°,
∴∠DEB=30°,
在△ADC和△EDB中,

AD=ED
∠DAC=∠DEB=30°
AC=BE

∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴BD=CD.