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在正四棱锥P-ABCD中（如图），若异面直线PA与BC所成角的正切值为2，底面边长AB=4．（1）求侧棱与底面ABCD所成角的大小．（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

分类: 作业答案 • 2022-01-29 23:33:39

问题描述：

在正四棱锥P-ABCD中（如图），若异面直线PA与BC所成角的正切值为2，底面边长AB=4．

（1）求侧棱与底面ABCD所成角的大小．
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

答

（1）过P作斜高PE，PO⊥底面ABCD，AD∥BC∴∠PAD为异面直线PA与BC所成的角θ且tanθ=2（3分）
在Rt△PEA中tanθ=2=

PE

AE

且AE=2所以PE=4，PA=2

5

（5分）
正四棱锥P-ABCD的高为PO=2

3

在Rt△POA中，∴sin∠PAO=

15

5

∴∠PAO=arcsin

15

5

，
侧棱与底面ABCD所成角的大小为arcsin

15

5

（或写成arccos

10

5

）（7分）
（2）V_P--ABCD=

1

3

•42•2

3

=

32

3

3

（14分）