如图，三个半径为3的圆两两外切，且△ABC的每一边都与其中的两个圆相切，那么△ABC的周长是 _ ．
问题描述：
如图，三个半径为
的圆两两外切，且△ABC的每一边都与其中的两个圆相切，那么△ABC的周长是 ___ ．
3
答
如图，∵连接AO、OP、PB、OE、PF、ON；
∴根据相切两圆性质得出OP=PN=ON=2
，
3
∴△ONP是等边三角形，
∴∠OPN=∠PON=∠ONP=60°，
∵根据切线性质得出OE⊥AB，PF⊥AB，
∴OE∥PF，OE=PF，
∴四边形OEFP是矩形，
∴OP∥AB，
同理PN∥BC，ON∥AC，
则∠OPN=∠ABC=60°，∠PON=∠BAC=60°
根据切线长定理∠ABP=
∠ABC=30°，∠EAO=30°，1 2
在Rt△AOE中，∠EAO=30°，OE=
；
3
则AE=3，同理可得BF=3；
由于⊙O、⊙P外切，所以OP=2
；
3
故AB=AE+EF+BF=6+2
，根据切线长定理可得，AB=BC=AC，
3
因此△ABC的周长为：18+6
．
3