若a,b为正实数,且a,b=1,则S=根号2ab-a平方-b平方的最大值

问题描述:

若a,b为正实数,且a,b=1,则S=根号2ab-a平方-b平方的最大值
是a+b=1 不是a,b=1 写错了 不好意思

S=√2ab- a^2- b^2
移向得:S+ a^2+ b^2=√2ab
S+(a+b) ^2-2ab=√2ab
又因为a+b=1,得
S+1-2ab=√2ab
S=2ab+√2ab-1
令√2ab=t 则 S=t^2+t-1=(t+1/2)^2-5/4
因为a、b为正实数,则 a^2+b^2≥2ab
(a+b)^2-2ab≥2ab
则 4ab≤(a+b)^2=1
√ab≤1/2
t≤√2/2
S=(t+1/2)^2-5/4≤(√2/2+1/2)^2-5/4=(√2-1)/2
所以 S 的最大值为(√2-1)/2