设f(x)=(e＾x+x)＾1/x,极限x趋于正无穷大[f(x)]＾a=f(1),求常数a
问题描述：
设f(x)=(e＾x+x)＾1/x,极限x趋于正无穷大[f(x)]＾a=f(1),求常数a
设f(x)=(e＾x+x)＾1/x,极限x趋于正无穷大[f(x)]＾a=f(1),求常数a
答
f(1)=(e+1)
limx->+00 [(e^x+x)^(1/x)]^a=e+1
设
y=[(e^x+x)^(1/x)]^a
lny=aln(e^x+x)^(1/x)
设g=ln(e^x+x)^(1/x)
lng=ln(e^x+x)/x
lim(x->+00)ln(e^x+x)/x=lim (e^x+1)/(e^x+x)=lim e^x/(e^x+1)=lim (1/(1+1/e^x))=1
所以 x->+00 时
lng=1
lny=a
y=e^a=e+1
a=ln(e+1)