南博汽车城销售某种型号的汽车,每辆进货价为25万元,市场调研表明:当销售价为29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆汽车降价x

问题描述:

南博汽车城销售某种型号的汽车,每辆进货价为25万元,市场调研表明:当销售价为29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆汽车降价x万元,每辆汽车的销售利润为y万元.(销售利润=销售价-进货价)
(1)求y与x的函数关系式;在保证商家不亏本的前提下,写出x的取值范围;
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元,试写出z与x之间的函数关系式;
(3)当每辆汽车的定价为多少万元时,平均每周的销售利润最大,最大利润是多少?

(1)由题意得:
y=29-25-x,(2分)
∴y=-x+4(0≤x≤4);(3分)
(2)z=(8+

x
0.5
×4)y (5分)
=(8x+8)(-x+4)(6分)
∴z=-8x2+24x+32
=-8(x-
3
2
2+50 (8分)
(3)由第二问的关系式可知:当x=
3
2
时,z最大=50 (9分)
∴当定价为29-1.5=27.5万元时,有最大利润,最大利润为50万元(10分)
或:当x=−
b
2a
=−
24
2×(−8)
=1.5
(8分)
z最大值=
4ac−b2
4a
4×(−8)×32−242
4×(−8)
=50
(9分)
∴当定价为29-1.5=27.5万元时,有最大利润,最大利润为50万元(10分).