设a,b为整数,且方程ax2+bx+1=0的两个不同的正数根都小于1,求a的最小值.

问题描述:

设a,b为整数,且方程ax2+bx+1=0的两个不同的正数根都小于1,求a的最小值.

设方程的两根为x1,x2
由x1•x2=

1
a
>0,∴a>0.
由题意有:△=b2-4ac=b2-4a>0   ①
用函数的观点看一元二次方程有:0<-
b
2a
<1  ②
a+b+1>0     ③
由②③得:-(a+1)<b<0
由①得:b<-2
a

∴-(a+1)<b<-2
a
.④
当a=1,2,3,4时,满足④式的整数b不存在.
当a=5时,b=-5,这时方程是5x2-5x+1=0,两根为x=
1
2
±
5
10
在0和1之间.
故a的最小值为5.