已知函数f（x）=x＾2+bx+c（b,c为常数）,对任意α∈R,恒有f(sinα)≥0,且f（2+cosα）≤0
问题描述：
已知函数f（x）=x＾2+bx+c（b,c为常数）,对任意α∈R,恒有f(sinα)≥0,且f（2+cosα）≤0
（1）求f（1）的值（2）求证：c≥3,若f（sinα）的最大值为8,求f（x）的表达式
答
1).∵ -1 ≤ sinα ≤ 1 ,α∈R
∴ f(-1) ≥0 f(1) ≥0 ……①
又∵ 1 ≤ 2+cosα ≤ 3 ,α∈R
∴f(1) ≤ 0 f(3) ≤0 ……②
由①②可知,f(1) 要满足≥0的同时还必须≤0
∴f(1) =0
2)由(1)得：
f(1)=1+b+c=0
b+c=-1
f(3)=9+3b+c≤0
9+3(-1-c)+c≤0
c≥3
由f(sinα）≤8得：
sin²a+bsina+c≤8
sin²a-(1+c)sina+c≤8
当sina=-1时,1+1+c+c≤8
c≤3
∴c=3
则b=-4
∴表达式为：f(x)=x²-4x+3