证明根号下1/（2n+1）
问题描述：
证明根号下1/（2n+1）
数学人气：897 ℃时间：2020-05-27 02:38:35
优质解答
考虑到1/√(2n + 1)总是整体出现,于是令x = 1/√(2n + 1),f(x) = √2 sin x - x.
由于n是正整数,故1/√(2n + 1) ≤ 1/√(2 + 1) = √3 /3.
而√3 /3 显然在[0,π/4]上有f'(x) = √2 cos x -1 ≥ 0.
故在[0,π/4]上f(x)递增,即f(x) ≥ f(0) =0.
亦即对任意x ∈(0,π/4],√2 sin x > x.
然后由于1/√(2n + 1)的值总在(0,π/4]内,因此可以将x换成1/√(2n + 1),
于是原不等式得证.
由于n是正整数,故1/√(2n + 1) ≤ 1/√(2 + 1) = √3 /3.
而√3 /3 显然在[0,π/4]上有f'(x) = √2 cos x -1 ≥ 0.
故在[0,π/4]上f(x)递增,即f(x) ≥ f(0) =0.
亦即对任意x ∈(0,π/4],√2 sin x > x.
然后由于1/√(2n + 1)的值总在(0,π/4]内,因此可以将x换成1/√(2n + 1),
于是原不等式得证.
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答
考虑到1/√(2n + 1)总是整体出现,于是令x = 1/√(2n + 1),f(x) = √2 sin x - x.
由于n是正整数,故1/√(2n + 1) ≤ 1/√(2 + 1) = √3 /3.
而√3 /3 显然在[0,π/4]上有f'(x) = √2 cos x -1 ≥ 0.
故在[0,π/4]上f(x)递增,即f(x) ≥ f(0) =0.
亦即对任意x ∈(0,π/4],√2 sin x > x.
然后由于1/√(2n + 1)的值总在(0,π/4]内,因此可以将x换成1/√(2n + 1),
于是原不等式得证.