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为什么1*1+2*2+3*3+……+n*n=1/6n(n+1)(2n+1)

分类: 作业答案 • 2022-01-23 15:29:13
问题描述：

为什么1*1+2*2+3*3+……+n*n=1/6n(n+1)(2n+1)
要详细的证明过程,谢谢!

答

首先,你肯定知道1+2+.+n=1/2n(n+1),那么
(n+1)*(n+1)*(n+1) - n*n*n = 3n*n + 3n + 1;
n*n*n - (n-1)*(n-1)*(n-1) = 3(n-1)*(n-1)+3(n-1)+1;
.
2*2*2 - 1*1*1 = 3*1*1*1 + 3*1 +1;
然后上面的n个式子左右相加,得到：
(n+1)*(n+1)*(n+1)-1*1*1 = 3(1*1 + .+n*n) + 3(1+...+n) + n;
化简就是
1*1+2*2+3*3+……+n*n=1/6n(n+1)(2n+1)

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