设a＞0，函数f(x)＝1/2x2−(a+1)x+alnx． （1）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为-1，求a的值； （2）求函数f（x）的极值点．
问题描述：
设a＞0，函数f(x)＝
x2−(a+1)x+alnx．1 2
（1）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为-1，求a的值；
（2）求函数f（x）的极值点．
答
（1）由已知x＞0
f′(x)＝x−(a+1)+
a x
曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为-1，
所以f'（2）=-1即2−(a+1)+
＝−1，解得a=4a 2
（2）f′(x)＝x−(a+1)+
＝a x
＝
x2−(a+1)x+a x
(x−1)(x−a) x
①当0＜a＜1时，
当x∈（0，a）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（a，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时x=a是f（x）的极大值点，x=1是f（x）的极小值点．
②当a=1时，
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，
当x=1时，f'（x）=0，
当∈（1，+∞）时，f'（x）＞0
所以函数f（x）在定义域内单调递增，此时f（x）没有极值点．
③当a＞1时，当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（a，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时x=1是f（x）的极大值点，x=a是f（x）的极小值点．
综上，当0＜a＜1时，x=a是f（x）的极大值点，x=1是f（x）的极小值点；
当a=1时，f（x）没有极值点；
当a＞1时，x=1是f（x）的极大值点，x=a是f（x）的极小值点