已知f（x）=x-a/x（a＞0），g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若对[1，+∞）内的一切实x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

分类: 作业答案 • 2022-01-22 20:39:31

问题描述：

已知f（x）=x-

（a＞0），g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若对[1，+∞）内的一切实x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

答

（Ⅰ）设点（x₀，y₀）为直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，
则有2lnx₀+bx₀=2x₀-2 （*）
∵g′(x)＝

+b，
∴

+b＝2 （**）
联立（*）（**）两式，解得b=0；
（Ⅱ）∵b=0，
∴g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x）整理，得

≤x−2lnx，
∵x≥1，
∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x²-2xlnx恒成立．
设h（x）=x²-2xlnx，h′(x)＝2x−2(lnx+x•

)＝2x−2lnx−2，
再设m（x）=2x-2lnx-2，
∴当x≥1时，m′（x）＞0，则h′（x）是增函数，
∴h′（x）≥h′（1）=0，h（x）是增函数，h（x）≥h（1）=1，
∴a≤1．

已知f（x）=x-a/x（a＞0），g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）若对[1，+∞）内的一切实x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．