设Ω为球体x²+y²+z²≤z..计算积分∫∫∫√(x²+y²+z²)dxdydz..积分区域为Ω

问题描述:

设Ω为球体x²+y²+z²≤z..计算积分∫∫∫√(x²+y²+z²)dxdydz..积分区域为Ω

一道基本的三重积分,用球坐标计算即可
详细过程请见下图,
(审核需要一定时间,看不到图的话请Hi我)
区域是一个球: x²+y²+z²≤z球坐标的替换公式是: x=rsinφcosθ, y=rsinφsinθ, z=rcosφ代入: (rsinφcosθ)²+(rsinφsinθ)²+(rcosφ)² ≤ rcosφr²sin²φcos²θ + r²sin²φsin²θ + r²cos²φ ≤ rcosφr²sin²φ(cos²θ+sin²θ) + r²cos²φ ≤ rcosφr²sin²φ + r²cos²φ ≤ rcosφr² ≤ rcosφr ≤ cosφ而r≥0这个就很好理解吧?