已知集合A={1,2,3,4······n},求其所有子集的元素之和要过程

问题描述:

已知集合A={1,2,3,4······n},求其所有子集的元素之和
要过程

首先,我们要知道,在所有子集中,1出现了几次?答案是2^(n-1)
为什么呢?因为除1外的n-1个元素都有两个选择,有或没有如:有2或没2, {1,2······}或{1······},合起来有2^(n-1)种选择
同理,其他的元素如2,都出现了2^(n-1)
因此,为2^(n-1)*(n+1)n/2

将子集分好类,即:空集 一元子集 二元子集 等等。此外集合{a1,a2,a3,……an}所有子集的个数为an(n上标)所以子集个数为2n(n上标),所以元素之和为n(n+1)*2 ^(n-2)
小Q,祝福你。

A的子集一共有2^n个,
在这2^n个子集中,我们来考察各个元素出现的次数,因为每个元素地位均等,所以我们只要考察一个就行了,其他类似;
以元素1为例:
没有出现1这个元素的子集个数为2^(n-1)个,原因如下:
没有元素1的子集,即可把这些集合看做集合B={2,3,4,5.,n}的子集,根据公式,有2^(n-1)个;
在A的所有子集中元素1出现的次数是2^n-2^(n-1)=2^(n-1);
类似的,2到n每一个元素出现的次数都是2^(n-1)
而1+2+3+...+n=n(n+1)/2
所以,所求的所有子集的元素之和就=[2^(n-1)]*[n(n+1)/2]
化简得:n(n+1)*2^(n-2)
如果不懂,请Hi我,

n的2次方