判断y=1-2x3 在(-∞,+∞)上的单调性,并用定义证明.
问题描述:
判断y=1-2x3 在(-∞,+∞)上的单调性,并用定义证明.
答
证明:f(x)=1-2x3在(-∞,+∞)上为单调减函数,证明如下
任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)
=(1-2x31)-(1-2x32)
=2(x32-x13)
=2(x2-x1)(x22+x1x2+x21)
=2(x2-x1)[(x1+x2)2+
x22]3 4
∵x2>x1,∴x2-x1>0,
又(x1+x2)2≥0,
x22≥0,且(x1+x2)2,3 4
x22不同时为0,3 4
∴2(x2-x1)[(x1+x2)2+
x22]>0.3 4
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
故f(x)=1-2x3在(-∞,+∞)上为单调减函数.