判断y=1-2x3 在(-∞,+∞)上的单调性,并用定义证明.

问题描述:

判断y=1-2x3 在(-∞,+∞)上的单调性,并用定义证明.

证明:f(x)=1-2x3在(-∞,+∞)上为单调减函数,证明如下
任取x1,x2∈R,且x1<x2
则f(x1)-f(x2
=(1-2x31)-(1-2x32
=2(x32-x13
=2(x2-x1)(x22+x1x2+x21
=2(x2-x1)[(x1+x22+

3
4
x22]
∵x2>x1,∴x2-x1>0,
又(x1+x22≥0,
3
4
x22≥0,且(x1+x22
3
4
x22不同时为0,
∴2(x2-x1)[(x1+x22+
3
4
x22]>0.
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2) 
故f(x)=1-2x3在(-∞,+∞)上为单调减函数.