如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA． （1）求证：直线MN是⊙O的切线； （2）过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB=6，BC=3，求阴影部分的面积．
问题描述：
如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB=6，BC=3，求阴影部分的面积．
答
（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O直径，C为圆周上的一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，又∠MCA=∠CBA，
∴∠MCA=∠OCB，
∴∠ACO+∠MCA=90°，
即OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴直线MN是⊙O的切线；
（2） 连接OE，CE，
由（1）OC⊥MN，AD⊥MN，得OC∥AE，
在Rt△ACB中，cos∠B=
=BC AB
，1 2
∴∠B=60°，
∴OC=OB=BC=3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵OC∥AE，
∴∠EAO=∠COB=60°，
∵OE=OA，
∴△OEA是等边三角形，
∴OC=AE，四边形AOCE是平行四边形，故S△EAC=S△EOC，
于是S阴影=S△ADC-S扇形EOC，
在Rt△ACB中，BC=3，AB=6，∴AC=3
，
3
在Rt△ADC中，AC=3
，∠DCA=∠B=60°，∴DC=
3
3 2
，AD=
3
，9 2
∴S△ADC=
AD•DC=1 2
，而S扇形EOC=27
3
8
=60π×32
360
，3π 2
于是S阴=S△ADC-S扇形EOC=
．27
-12π
3
8