设向量组a1,a2,...,as的秩为r,证明其中任意选取m个向量构成向量组的秩>=r+m-s

问题描述:

设向量组a1,a2,...,as的秩为r,证明其中任意选取m个向量构成向量组的秩>=r+m-s

向量组a1,a2,...,as的秩为r,所以其中存在一个含r个向量ai的线性无关的向量组.不妨设 a1,...,ar,线性无关.共r个向量.在此之外共s-r个向量.
其中任意取 m个向量,
如果 m<= s-r,自然有,m+r-s>=0
如果 m>s-r,这m个向量中,最多有 s-r个不是 a1,...,ar之一.所以至少有 m-(s-r)个向量都在a1,..,ar之中.而这m-(s-r)个向量线性无关.所以 这m个向量的秩 >= 其中的落在 a1,...,ar中的向量的秩 >= m-(s-r)=r+m-s